1、列车系统振动方程及其变换
在列车系统建模时，尽可能完整地反映轮轨系统本质，又不能使模型过分复杂，便于计算模拟的实施。车辆和轨道系统之间的耦合作用是通过轮轨接触而实现的，具体表现为轮轨之间的作用力，而确定两个弹性体之间作用力最经典有效的方法是Hertz非线性弹性接触模型[103，104]。
6.1.1.1 钢轨振动微分方程及其变换
轨道理论上被当作连续支承无限长梁体系，但在实际工程应用中，通常将钢轨看成有限长简支梁，采用Euler梁模型，其受力关系如图6.3，其中Pi为轮轨作用力（以四轴车轮为例），随列车以速度v向前移动；Frsi（i=1～N）是轨枕支点反力，N为长度l范围内轨枕支点总数；ox为固结于钢轨的固定坐标系；o＇x＇是连接在列车上的移动坐标系。两种坐标之间的相互变换关系为
x=x＇+x0+vt （6.1）
式中：x0——起始时刻第四位轮的固定坐标；
t——运动时间变量。
图6.3 钢轨受力分析模型
设钢轨的振动位移变量为Zr（x，t），钢轨的弹性模量为E（ω），横截面惯量为l，则钢轨的振动微分方程为
水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究
其中
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式中，Zsi（t）为轨枕振动位移，m。
各车轮的运动坐标xwj（j=1～4）依次为
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各轨枕支点的坐标为xi=ils，（i=1～N），式中，ls为轨枕间距，m。
方程（6.4）是四阶偏微分方程，为了便于迸行数值分析，将其转化为二阶常微分方程，采用Zitz法，引入钢轨正则振型坐标qk（t），应用简支梁的正则振型函数，得到相对应于本模型条件的钢轨振型为
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则方程（6.2）的解可变为如下形式
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对于所截取的模态阶数NM，要求其截止频率在所分析的钢轨有效频率的两倍以上，根据解的收敛性来确定合理的NM值。
将式（6.6）的解代入式（6.2）得
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将式（6.7）两边同乘以yh（x）（h=1，2，l，NM），对x自0到l积分，并考虑到模态的正交性，即
则有
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根据Diracδ函数的性质，式（6.8）整理得
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又因为
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则式（6.9）化简为
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将式（6.3）和式（6.6）代入方程（6.10）得
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式（6.11）为钢轨振型坐标微分方程组的具体形式。
6.1.1.2 轨枕振动微分方程
根据轨枕的受力状态得出其振动微分方程
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将钢轨位移方程式（6.6）代入方程（6.12）得轨枕振动微分方程
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6.1.1.3 道床振动微分方程
第i号离散道床受到上方轨枕对道床的作用力Fbsi、下方路基对道床的作用力Fbƒi、左侧道床块剪切作用力Fbbli和右侧道床块剪切作用力Fbbri的作用，其振动方程为
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4个作用力分别为
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将式（6.15）代入式（6.14）得道床振动微分方程为
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2、汽车双自由度振动模型
这个要分三种情况：1、欠阻尼情况（阻尼比小于1）：周期增大，频率减小，振幅成指数衰减，一直不停地作衰减振动；也只有这种情况，物体还能继续振动。2、临界阻尼情况（阻尼比等于1）：不能继续振动，振幅急剧衰减，物体很快回到平衡位置。3、过阻尼情况（阻尼比大于1）：同 临界阻尼的情况一样。相关的公式推导证明楼主得参考《机械振动基础》，哪本都差不多。
3、什么是车辆模型运动
车辆模型运动。
体育运动项目之一，以装配制作．操纵行驶各种模型车进行训练比赛、课外活动和休闲娱乐的科技性较强的运动。分遥控、自行和静态观赏等类。
车辆模型运动于20世纪50年代兴起于欧美国家。中国于20世纪70年代末开始推广车辆模型运动。